…I♥LYQ…

ALJABAR LINEAR – APROKSIMASI TERBAIK; KUADRAT TERKECIL

Posted on: December 26, 2010

Helooooo…….para pecinta Aljabar Linear!!! Kali ini aku mau ngebahas tentang salah satu subbab dalam Aljabar Linear yakni Aproksimasi terbaik; Kuadrat Terkecil. Nah dalam subbab ini kita akan menunjukkan bagaimana proyeksi ortogonal dapat digunakan dalam menyelesaikan soal-soal tertentu mengenai aproksimasi. FYI…hasil-hasil yang diperoleh pada subbab ini dapat diterapkan pada ragam aplikasi yang sangat luas, baik dalam matematika maupun sains juga. So langsung ajah yuk kita diskusikan bersama…

Proyeksi Ortogonal Dipandang sebagai Aproksimasi

Jika P adalah sebuah titik di dalam ruang berdimensi 3 biasa dan W adalah sebuah bidang yang melewati titik asal ruang tersebut, maka titik Q pada W yang jaraknya terdekat dengan P dapat diperoleh dengan memproyeksikan P secara tegak lurus terhadap W.

Sehingga, jika u = OP, jarak antara P dan W diberikan oleh

||u – projw u||

Dengan kata lain, di antara semua vektor w pada W, vektor w = projw u meminimalkan jarak ||u w||.


Ada cara lain untuk memahami gagasann tersebut. Pandang u sebagai sebuah vektor tetap yang hendak kita aproksimasikan dengan menggunakan dengan menggunakan sebuah vektor pada W. Setiap aproksimasi w semacam ini akan menghasilkan sebuah “vektor kesalahan ” (“error vector”)

u w

yang tidak dapat dijadikan sama dengan 0, terkecuali jika u terletak pada W. Akan tetapi, dengan memilih

w = projw u

kita dapat menjadikan panjang vektor kesalahan

||u w|| = ||u – projw u||

sekecil mungkin. Sehingga, kita dapat mendeskripsikan projw u sebagai “aproksimasi terbaik bagi u relatif terhadap vektor-vektor pada W.


Bukti.

Untuk setiap vektor w pada W, kita dapat menuliskan

u w = (u – projw u) + (projw u w)        (1)

Namun projw u w, karena merupakan selisih dari dua buah vektor pada W, terletak pada W; dan u – projw u ortogonal terhadap W, sehingga kedua suku pada sisi kanan (1) saling ortogonal. Dengan demikian, melalui Teorema Pythagoras berikut


Maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi

|| u w ||2 = || u – projw u ||2 + || projw u w ||2

Jika w ≠ projw u, maka suku kedua dari penjumlahan di atas akan bernilai positif, sehingga

|| u w ||2 > || u – projw u ||2

Atau secara ekuivalen,

|| u w || > || u – projw u ||    

Solusi Kuadrat Terkecil dari Sistem Linear

Sejauh ini, kita menaruh perhatian hanya pada sistem persamaan linear yang konsisten. Eitsss akan tetapi, sistem linear yang tidak konsisten ternyata juga penting dalam berbagai aplikasi di bidang fisika loh. Sangat umum dijumpai sebuah situasi di mana beberapa permasalahan fisika menghasilkan sebuah sistem linier Ax=b, yang seharusnya konsisten dalam tataran teoritis namun menjadi tidak demikian (tidak konsisten) karena adanya “kesalahan-kesalahan pengukuran” pada entri-entri A dan b yang mengubah sistem sedemikian rupa sehingga menimbulkan ketidakkonsistenan. Dalam situasi semacam ini kita akan berupaya untuk mencari nilai x yang “sedekat mungkin” dengan solusi yang diharapkan, dalam pengertian bahwa solusi ini dapat meminimalkan nilai ||Axb|| merujuk pada hasil kali dalam Euclidean. Kuantitas ||Axb|| dapat dipandang sebagai suatu ukuran dari “kesalahan” yang terjadi akibat memandang x sebagai solusi aproksimasi dari sistem linear Ax=b. Jika sistem konsisten dan x adalah solusi eksaknya, maka kesalahannya adalah nol, karena ||Axb|| = ||0|| = 0. Secara umum, semakin besar nilai ||Ax b||, semakin buruk nilai x sebagai aproksimasi solusi sistem tersebut.

Masalah Kuadrat Terkecil. Jika diberikan sebuah sistem linear Ax = b yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, tentukan sebuah vektor x, jika mungkin, yang meminimalkan nilai ||Axb|| merujuk pada hasil kali dalam Euclidean pada Rm. Vektor semacam ini disebut sebagai solusi kuadrat terkecil (least square solution) dari Ax = b.

Untuk menyelesaikan permasalahan kuadrat terkecil, misalakan W adalah ruang vektor kolom dari A. Untuk setiap matriks x, n×1, hasilkali Ax adalah sebuah kombinasi linear dari vektor-vektor kolom dari A. Sehingga dengan bervariasinya nilai x di dalam Rn, vektor Ax juga akan bervariasi pada berbagai kombinasi linear yang mungkin dari vektor-vektor kolom dari A; jelasnya, Ax bervariasi di seluruh ruang kolom W. Secara geometrik, menyelesaikan persoalan kuadrat terkecil berarti menentukan sebuah vektor x pada Rn, sedemikian rupa sehingga Ax merupakan vektor terdekat ke b di dalam W.


Berdasarkan Teorema Aproksimasi Terbaik bahwa vektor terdekat dari b di W adalah proyeksi ortogonal b pada W. Sehingga, agar sebuah vektor x dapat menjadi solusi kuadrat terkecil dari Ax = b, vektor ini harus memenuhi

Ax = projw b (2)

Nah dengan memanfaatkan Teorema Proyeksi

dan rumus:     u = projw u + (u – projw u)

maka

b = projw b + (b – projw b)

b – projw b = b – projw b

dari rumus (2) di mana Ax = projw b, sehingga

b Ax = b – projw b

ortogonal terhadap W. Namun W adalah ruang kolom dari A, sehingga dari Teorema pada bab Ruang Hasil Kali Dalam


b Ax terletak pada ruang nul dari matriks AT. Oleh karena itu, sebuah solusi kuadrat terkecil dari Ax = b harus memenuhi

AT (b Ax) = 0

Atau secara ekuivalen,

AT Ax = AT b (3)

Sistem persamaan ini disebut sebagai sistem normal (normal system) yang diasosiasikan dengan Ax=b, dan tiap-tiap persamaan di dalam sisitem ini disebut persamaan normal (normal equation) yang diasosiasikan dengan Ax=b. Sehingga, permasalahan penentuan solusi kuadrat terkecil dari Ax=b dapat disederhanakan menjadi permasalahan penentuan solusi eksak dari sistem normal yang terkait.

Berikut ini fakta-fakta mengenai sistem normal:

  • Sistem normal melibatkan n persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui.
  • Sistem normal bersifat konsisten, karena dipenuhi oleh sebuah solusi kuadrat terkecil Ax = b.
  • Sistem normal dapat memiliki jumlah solusi yang takterhingga banyaknya, yang dalam kasus semacam ini semua solusi tersebut adalah solusi kuadrat terkecil dari Ax = b.

Nah…dari fakta-fakta ini dan rumus (2) kita dapat menurunkan teorema berikut ini.

Keunikan Solusi Kuadrat Terkecil

Syarat-syarat yang menjamin suatu sistem linear memiliki sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik (melalui pemahaman teorema berikut ini).


Bukti.

Kita akan buktikan bahwa (a) => (b)

Asumsikan bahwa A memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linear. Matriks ATA memiliki ukuran n x n, sehingga kita dapat membuktikan bahwa matriks ini dapat dibalik dengan menunjukkan bahwa sistem linear ATAx = 0 hanya memiliki solusi trivial. Akan tetapi jika x adalah sebuah solusi dari sistem ini, maka Ax terletak pada ruang nul dari AT
dan juga ruang kolom dari A. Berdasarkan Teorema (kaitan geometris antara ruang–kosong dan ruang baris suatu matriks), ruang-ruang m adalah komplemen-komplemen ortogonal, sehingga bagian (b) Teorema berikut


mengimplikasikan bahwa Ax = 0. Namun A memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linear. Sehingga x = 0.

Dari Teorema 2 dan Teorema 3
menghasilkan konsekuensi langsung yaitu Teorema berikut:

CATATAN: Rumus (4) dan (5) dapat diterapkan dalam berbagai aplikasi teoritis, namun keduanya tidak efisien dan apabila diterapkan untuk perhitungan numerik. Solusi kuadrat terkecil dari Ax = b paling baik dihitung dengan menggunakan eliminasi Gauss atau eliminasi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan persamaan-persamaan normalnya, dan proyeksi ortogonal b pada ruang kolom dari A paling baik didapatkan dengan cara menghitung Ax, di mana x adalah solusi kuadrat terkecil dari Ax = b.

Contoh Soal: Solusi Kuadrat Terkecil

Tentukan solusi kuadrat terkecil dari sistem linear Ax = b yang diberikan oleh

x1x2 = 4

3x1 + 2x2 = 1

-2x1 + 4x2 = 3

dan tentukan proyeksi ortogonal b pada ruang kolom dari A.

Penyelesaian:

Di sini


Perhatikan bahwa A memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linear, sehingga kita dapat mengetahui sejak awal bahwa terdapat sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik bagi sistem ini. Kita memperoleh


Sehingga sistem normal AT Ax = AT b dalam kasus ini adalah


Dengan menyelesaikan sistem ini kita akan memperoleh solusi kuadrat terkecil


Dari (5) proyeksi ortogonal b pada ruang kolom dari A adalah

Proyeksi Ortogonal pada sebuah Subruang

Konsep sebuah operator proyeksi ortogonal dapat diperluas hingga mencakup ruang Euclidean yang berdimensi lebih tinggi, sebagaimana diperlihatkan berikut ini


Dan dari rumus (5) kita peroleh matriks standar untuk proyeksi ortogonal Rm pada W adalah

[P] = A(ATA)1 AT (6)

Di mana A dibentuk dengan menggunakan basis sebarang untuk W sebagai vektor-vektor kolomnya.

Ok, dari semua yang telah dijabarkan di atas sejauh ini akan dihubungkan oleh Teorema berikut ini:



Voilllaaa… cukup sekian yah teman-teman yang dapat aku sampaikan…hihiihi

Kalo ada kesalahan, lebih kurangnya mohon dimaafkan…

Ditunggu komentar-komentarnya, kritik dan saran yang pedas juga boleeeh😛

Thank you guys 🙂

Regards… 🙂


♥ LoveLyq ♥


referensi:

Anton, Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Edisi Kedelapan Jilid 1. Jakarta: Erlangga.


P.S.

artikel ini ditulis sebagai tugas kuliah Aljabar Linear

oleh:

Lilik Suliandari

G1D 007 026

Program Studi Matematika

Fakultas MIPA

Universitas Mataram

2010

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

LoveLyq


welcome to my blog :)
it's all about random things that I see, I heard, I learned, I felt, and I loved to...
this is my random blog, this is my inspiration!
enjoy it!
xoxo :)

My Plurk

Tumblr

♥ it's all about life ♥ it's all about laugh ♥ it's all about love ♥ and this is story about LoveLyq ♥

"If you want to be loved, be lovable."

I'm not gonna change for anyone, I don't care what people think, because I am me, I am rock and proud of it.

-LoveLyq-


YM: a_lovelyq

acc :
http://www.facebook.com/ilovelyq
http://twitter.com/ilovelyq
http://www.plurk.com/loveliq/invite
http://formspring.me/loveliq

blog :
http://ilovelyq.wordpress.com/
http://alovelyq.blogspot.com/

My Twitter

Blog Stats

  • 90,797 hits

online.online

Calender

December 2010
M T W T F S S
« Sep   Jan »
 12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
2728293031  

My Archives…

Category

Gamatika Go!

Mathematics Addicts ’07

STOP GLOBAL WARMING

Masukkan alamat surel Anda untuk berlangganan blog ini dan menerima pemberitahuan tulisan-tulisan baru melalui email.

Join 6 other followers

RSS Detik News

  • An error has occurred; the feed is probably down. Try again later.

RSS Blogdetik Tips

  • An error has occurred; the feed is probably down. Try again later.
%d bloggers like this: