…I♥LYQ…

artikel subgrup normal struktur aljabar

Posted on: June 19, 2009

SUBGRUP NORMAL DALAM GRUP YANG TIDAK KOMUTATIF

Koset kanan tidak sama dengan koset kiri (Hc ≠ cH), untuk suatu unsur c di grup G, hanya dapat kita temui dalam grup yang tidak komutatif.

Untuk itu, pandang pemetaan dari himpunan S ke dalam S sendiri yang di mana bersifat satu-satu dan pada.

Telah diketahui sebelumnya dalam sifat 1.3.4 :

(Pemetaan f : ST bersifat satu-satu dan pada jika dan hanya jika terdapat pemetaan g : T S  yang memenuhi g f = idS dan  f g = idT.

Pemetaan g : T S juga bersifat satu-satu dan pada). (Arifin, Achmad : 11)

Dengan demikian pemetaan f : S S yang bersifat satu-satu dan pada senantiasa memiliki balikan. Selain itu juga, komposisi tiga pemetaan selalu asosiatif.

Sehingga jika S menyatakan himpunan semua pemetaan f : S S yng bersifat satu-satu pada, maka terhadap komposisi operasi kali pada S, system matematika (S, x) membentuk grup.

Untuk contoh khususnya, pilih S = {1, 2, 3}. Dapat ditulis juga S = S3. Pemetaan α element S3, disebut permutasi, ditandai dengan :

permutasi α

dengan demikian, kita punya

pemetaan α

Komposisi αi αj pada himpunan S3 = { α0, α1, α2, α3, α4, α5 } dapat dituliskan dalam bentuk tabel seperti berikut :

Tabel komposisi αi αj

αi \ αj α0 α1 α2 α3 α4 α5
α0 α0 α1 α2 α3 α4 α5
α1 α1 α0 α4 α5 α2 α3
α2 α2 α5 α0 α4 α3 α1
α3 α3 α4 α5 α0 α1 α2
α4 α4 α3 α1 α2 α5 α0
α5 α5 α2 α3 α1 α0 α4

Dari tabel dapat dilihat bahwa S3 terhadap operasi kali,

yaitu S3 x S3 →  S3 yang didefinisikan melalui komposisi, sehingga system matematika (S3 , x) membentuk suatu grup, disebut grup simetri.

Dimana balikan setiap unsure di S3 dapat terlihat dalam tabel tersebut dan S3 bukan merupakan grup komutatif.

Perhatiakan subgroup dari S3 berikut ini :

H1 = { α0 , α1}

H2 = { α0 , α2 }

H3 = { α0 , α3 }

A3 = { α0 , α4 , α5 }

Terhadap subgroup H1 ,H2 , dan H3 koset kanan tidak selalu sama dengan koset kiri.

Tetapi pada subgroup A3, koset kanan senantiasa sama dengan koset kiri.

Dari hal ini muncul pertanyaan,, mengapa demikian???

Berikut akan dibuktikan 2 pernyataan di atas..

1. Akan ditunjukkan bahwa subgroup H1 , H2 , dan H3 tidak bersifat normal atau dengan kata lain koset kanan ≠ koset kiri.

Misal, ambil c = α4

( i ) H1 = { α0 , α1}

c H1 = { α4 α0 , α4 α1 } = { α4 , α3 }

H1 c = { α0 α4 , α1 α4 } = { α4 , α2 }

c H1 ≠ H1 c

( ii ) H2 = { α0 , α2 }

c H2 = { α4 α0 , α4 α2 } = { α4 , α1 }

H2 c = { α0 α4 , α2 α4 } = { α4 , α3 }

c H2 ≠ H2 c

( iii ) H3 = { α0 , α3 }

c H3 = { α4 α0 , α4 α3 } = { α4 , α2 }

H3 c = { α0 α4 , α3 α4 } = { α4 , α1 }

c H3 ≠ H3 c

dari ( i ), ( ii ), dan ( iii ) menunjukkan bahwa H1 ,H2 , dan H3 koset kanannya tidak sama dengan koset kiri atau dengan kata lain H1 ,H2 , dan H3 tidak bersifat normal.

2. Akan ditunjukkan bahwa subgroup A3 senantiasa memiliki koset kanan = koset kiri.

Misal, ambil g element S3

g1 = α1 , g2 = α2 , g3 = α3

( i ) g1 = α1 dan A3 = { α0 , α4 , α5 }

g1 A3 = { α1 α0 , α1 α4 , α1 α5 } = { α1 , α2 , α3 }

A3 g1 = { α0 α1 , α4 α1 , α5 α1 } = { α1 , α3 , α2 }

g1 A3 = A3 g1

( ii ) g2 = α2 dan A3 = { α0 , α4 , α5 }

g2 A3 = { α2 α0 , α2 α4 , α2 α5 } = { α2 , α3 , α1 }

A3 g2 = { α0 α2 , α4 α2 , α5 α2 } = { α2 , α1 , α3 }

g2 A3 = A3 g2

( iii ) g3 = α3 dan A3 = { α0 , α4 , α5 }

g3 A3 = { α3 α0 , α3 α4 , α3 α5 } = { α3 , α1 , α2 }

A3 g3 = { α0 α3 , α4 α3 , α5 α3 } = { α3 , α2 , α1 }

g3 A3 = A3 g3

dari ( i ), ( ii ), dan ( iii ) menunjukkan bahwa subgroup A3, koset kanan senantiasa sama dengan koset kiri.

Dari hal ini juga menunjukkan indeks atau jumlah koset subgroup A3 di S3,

yang dapat ditulis dalam bentuk [S3 : A3] = 2. Yaitu { α1 , α2 , α3 } dan

{ α0 , α4 , α5 } yang merupakan dirinya sendiri.

Dengan demikian, berdasarkan pernyataan-pernyataan di atas kita punya definisi berikut :

Definisi 3.3.1 Subgrup H dari grup G dikatakan normal jika Hg=gH untuk semua g element G. (Arifin, Achmad : 50)

DAFTAR PUSTAKA

Arifin, Achmad. 2000. Aljabar. Bandung : ITB.

2 Responses to "artikel subgrup normal struktur aljabar"

Great post! I’ll subscribe right now with my feedreader software!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

LoveLyq


welcome to my blog :)
it's all about random things that I see, I heard, I learned, I felt, and I loved to...
this is my random blog, this is my inspiration!
enjoy it!
xoxo :)

My Plurk

Tumblr

♥ it's all about life ♥ it's all about laugh ♥ it's all about love ♥ and this is story about LoveLyq ♥

"If you want to be loved, be lovable."

I'm not gonna change for anyone, I don't care what people think, because I am me, I am rock and proud of it.

-LoveLyq-


YM: a_lovelyq

acc :
http://www.facebook.com/ilovelyq
http://twitter.com/ilovelyq
http://www.plurk.com/loveliq/invite
http://formspring.me/loveliq

blog :
http://ilovelyq.wordpress.com/
http://alovelyq.blogspot.com/

My Twitter

Blog Stats

  • 90,797 hits

online.online

Calender

June 2009
M T W T F S S
    Mar »
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930  

My Archives…

Category

Gamatika Go!

Mathematics Addicts ’07

STOP GLOBAL WARMING

Masukkan alamat surel Anda untuk berlangganan blog ini dan menerima pemberitahuan tulisan-tulisan baru melalui email.

Join 6 other followers

RSS Detik News

  • An error has occurred; the feed is probably down. Try again later.

RSS Blogdetik Tips

  • An error has occurred; the feed is probably down. Try again later.
%d bloggers like this: